La suma de los primeros n naturales

Publicado en abril 1, 2010 por

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Ergo No. 0

Se cuenta que cuando Carl Friedrich Gauss tenía solo diez años, su profesor dejó a la clase la tediosa tarea de sumar los primeros 100 numeros naturales, Gauss fué el primer niño en terminar esta labor, lo hizo demasiado rápido, y más aún, de entre todos los alumnos Gauss fué el único cuyo resultado era el correcto. Cómo lo hizo, es una pregunta que tiene una respuesta tan boba que es de sorprenderse y además denota lo poco que ponemos atención a las cosas triviales.

El joven Gauss se dió cuenta que en todas las series que comienzan desde uno, el ultimo y el primer numero siempre suman el ultimo más uno, el segundo y el antepenultimo suman siempre el ultimo más uno, bueno creo que no me doy a entender. Tomemos como ejemplo la serie de numeros que van del 1 al 100, entonces la suma de estos numeros se simboliza de la siguiente manera:

\sum_{i=1}^{100} i=1+2+3+\cdots +100

El subíndice nos dice donde comienza la serie y el superíndice nos dice donde termina, esta suma en particular comienza en uno y termina en 100, la i es el símbolo que nos indica que ahí va un sumando.

El joven Gauss se dió cuenta que el primer y el último numero valen el último más uno. Esto es (1+100)=100+1, y que el segundo más el antepenultimo suman el ultimo más uno (2+99)=100+1 poniendo las cosas un poco más gráficas:

1 2 3 4 5 96 97 98 99 100
100 99 98 97 96 5 4 3 2 1
101 101 101 101 101 101 101 101 101 101

Tumba de Gauss en Göttingen, Alemania

Eso es todo, ahora el secreto ha sido desvelado, solo resta preguntarnos, ¿cuántas parejas podemos formar en un conjunto de 100 elementos? pues sería \frac{100}{2}=50. Entonces el numero de parejas, por la suma de cada pareja nos da: 50(101)=5,050 de esta manera podemos decir que la suma de los primeros n naturales es:

\sum_{i=1}^{n}i=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]

Demostración

Muy bien hasta ahora no hemos probado nada, solo hemos dicho cómo llegamos a este resultado, a partir de este punto hablaré acerca de lo que es una prueba por inducción.

Básicamente una prueba por inducción es una herramienta que nos ayuda a demostrar resultados que casi siempre tienen que ver con los naturales, es decir, cuyo índice está dentro de este conjunto de números. Esta prueba consta de tres partes, a saber:

  1. Comprobación para los primeros o el primer elemento de la serie.
  2. Hipótesis inductiva, suponemos que se vale para algún cierto K.
  3. Demostración para n+1

En resumen veremos si el resultado funciona para el primer elemento, luego suponemos que funciona para K y por ultimo tratamos de demostrar que sirve para n+1.

Verificamos que sirve para n=1, entonces tenemos que \sum_{i=1}^{1}i=\frac{1(1+1)}{2}=1
Suponemos que es válido para n=K, Hipótesis de inducción (H.I.), \sum_{i=1}^{K}i=\frac{K(K+1)}{2}
Demostramos para K=n+1

  1. \sum_{i=1}^{K} i = \sum_{i=1}^{n} {i} = \frac{n(n+1)}{2} (Aplicamos H.I.)
  2. \sum_{i=1}^n {i} + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)
  3. \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2}
  4. \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{(n+1)(n+2)}{2}{\ \ \ \ \ \ } \blacksquare

Aquí hay que hacer algunas observaciones:

  1. En la ecuación (1) aplicamos de inmediato la H.I. pero no siempre es así en todas las demostraciones.
  2. En la ecuación (2), sumamos el numero que sigue es decir (n+1)
  3. Al sumar el siguiente natural, la suma cambia, ahora termina en (n+1)
  4. Para pasar de (3) a (4) solo factorizamos el (n+1) que se encuentra multiplicando a n y a 2

Hasta aquí llega este post, saludos, y espero sus no comentarios.

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